ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ
ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Νο 7
ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΕΡΟΤΡΟΧΙΑΣ
________________________________________
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ - ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ
Στην άσκηση αυτή χρησιμοποιείται μια αεροτροχιά σε συνδυασμό με δύο φωτοπύλες για την αυτόματη και ακριβή μέτρηση του χρόνου με σκοπό τη μελέτη (α) του νόμου του Νεύτωνα και (β) του νόμου διατήρησης της μηχανικής ενέργειας κατά την κίνηση ενός σώματος σε κεκλιμένο επίπεδο.
Η πειραματική διάταξη αποτελείται από την αεροτροχιά με διάφορα εξαρτήματά της και τις δύο φωτοπύλες αυτόματης μέτρησης του χρόνου.
1. Η αεροτροχιά
Η αεροτροχιά είναι ένας ευθύς σωλήνας μήκους 2m με ορθογώνια διατομή και με πολλές μικρές τρύπες κανονικά διατεταγμένες στις δύο πάνω πλευρές του. Ο σωλήνας τροφοδοτείται στο ένα άκρο του με σταθερό ρεύμα αέρα από ειδική διάταξη (φυσητήρα) στην οποία υπάρχει ένα κουμπί που ελέγχει την παροχή, δηλαδή τη μάζα του αέρα που βγαίνει από την έξοδο της διάταξης στη μονάδα του χρόνου. Με την κατάλληλη παροχή αέρα, ειδικά βαγόνια μπορούν να κινούνται πάνω στην αεροτροχιά με ελάχιστη τριβή. Τα βαγόνια είναι κατασκευασμένα από μαύρο ανοδιωμένο αλουμίνιο, ώστε να είναι δύσκαμπτα και έχουν μάζα 180gr και μήκος 129mm, περίπου. Στις δύο πάνω πλευρές της αεροτροχιάς είναι κολλημένη μετρητική ταινία για τον προσδιορισμό της θέσης των βαγονιών. Ο σωλήνας προσαρμογής σε σχήμα Π κάτω από την αεροτροχιά είναι κατασκευασμένος έτσι ώστε η αεροτροχιά, μετά από 5min τροφοδοσίας, να είναι ευθεία με ακρίβεια ±0,02mm. Τα διάφορα βοηθητικά εξαρτήματα (ανακρουστήρες με λάστιχο ή με πλακίδιο, άγκιστρο κλπ.) ζυγίζουν 10gr το καθένα εκτός από το δίσκο της τροχαλίας που είναι 9gr. Αυτά ισχύουν με ακρίβεια ±0,1 gr.
2. Οι φωτοπύλες αυτόματης μέτρησης χρόνου
Στην άσκηση υπάρχουν δύο μονάδες χρονισμού με φωτοπύλες (που αναφέρονται παρακάτω ως φωτοπύλες με μνήμη και ως βοηθητική φωτοπύλη). Αυτές χρησιμεύουν π.χ. για τη μέτρηση του χρόνου κίνησης ενός βαγονιού από τη θέση της μιας φωτοπύλης ως την άλλη, ή για τη μέτρηση της στιγμιαίας ταχύτητας του βαγονιού στη θέση μιας φωτοπύλης. Οι δύο φωτοπύλες λειτουργούν με τον ίδιο τρόπο ως προς την παραγωγή του σήματος χρονομέτρησης (έναρξης - παύσης), η μία όμως διαθέτει επιπλέον και "μονάδα μνήμης και επεξεργασίας", όπου μπορούν να μετρηθούν χρονικά διαστήματα με ακρίβεια 1 ή 0,1ms. Τα σήματα χρονομέτρησης και από τις δύο φωτοπύλες οδηγούνται σε αυτή τη μονάδα μνήμης και επεξεργασίας.
Η παραγωγή του σήματος χρονομέτρησης και στις δύο φωτοπύλες γίνεται ως εξής: Πηγή υπέρυθρου φωτός, LED (Light Emitting Diode, φωτοδίοδος) που βρίσκεται στον έναν κατακόρυφο βραχίονα της φωτοπύλης (Σχήμα 1), εκπέμπει λεπτή συνεχή δέσμη που ανιχνεύεται στον απέναντι βραχίονα. Η ψηλή στάθμη σήματος από τον ανιχνευτή πληροφορεί τη "μονάδα μνήμης και επεξεργασίας" ότι η δέσμη αυτής της φωτοπύλης δεν παρεμποδίζεται από κάποιο αντικείμενο. 'Οταν ένα αντικείμενο εμποδίσει τη δέσμη να ενεργοποιήσει τον ανιχνευτή (οπότε και η πηγή LED που βρίσκεται πάνω στον οριζόντιο βραχίονα της φωτοπύλης ανάβει, (Σχήμα 2), η στάθμη του σήματος που μεταφέρεται προς τη "μονάδα μνήμης και επεξεργασίας" γίνεται χαμηλή (Σχήμα 3).
Η επεξεργασία των σημάτων χρονομέτρησης που προέρχονται από μία ή και από τις δύο φωτοπύλες μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους που επιλέγονται με διακόπτη πάνω στη βάση της φωτοπύλης με μνήμη.
Στη θέση GATE μετριέται το χρονικό διάστημα t κατά το οποίο διακόπτεται η δέσμη μιας φωτοπύλης καθώς ένα αντικείμενο με γνωστό μήκος L περνάει μέσα από αυτήν. Μπορεί κανείς έτσι να μετρήσει τη μέση ταχύτητα του αντικειμένου στη θέση αυτής της φωτοπύλης.
Στη θέση PULSE, μετριέται το χρονικό διάστημα t από τη στιγμή Σ1 της διακοπής της πρώτης φωτοπύλης (διακοπή που διαρκεί ως τη στιγμή Σ2) μέχρι τη στιγμή Σ3 που αρχίζει η διακοπή της δεύτερης (ή της ίδιας) φωτοπύλης.
Στη βάση της φωτοπύλης με μνήμη υπάρχει επίσης ο διακόπτης START/STOP με τον οποίο ο χρονομετρητής χρησιμοποιείται σαν ηλεκτρονικό ρολόι, καθώς και ένας διακόπτης επιλογής διακριτικής ικανότητας στο χρόνο που επιλέγει ακρίβεια 1ms ή 0,1ms. Και στις δύο επιλογές το σφάλμα του οργάνου στο μετρούμενο χρόνο είναι 1%. Τέλος, με το διακόπτη της μνήμης MEMORY στη θέση ON, είναι δυνατόν να γίνουν διαδοχικές μετρήσεις δύο χρονικών διαστημάτων t1 και t2 (είτε στον τρόπο λειτουργίας GATE είτε στον τρόπο PULSE). Το διάστημα t1 φαίνεται κατευθείαν στο παράθυρο της φωτοπύλης με μνήμη. Γυρίζοντας το διακόπτη της μνήμης στη θέση READ, το παράθυρο δείχνει το διάστημα t1+t2. Αφαιρώντας το διάστημα t1 από αυτό, βρίσκεται το t2.
Επειδή η πηγή και ο ανιχνευτής κάθε φωτοπύλης έχουν κάποιο μικρό εύρος και η τροχιά ενός αντικειμένου πάνω στην αεροτροχιά δεν είναι εντελώς κάθετη στη δέσμη της φωτοπύλης, το ενεργό μήκος του αντικειμένου που "βλέπει" η φωτοπύλη μπορεί να μην είναι το ίδιο με το πραγματικό, γι' αυτό και στους υπολογισμούς που γίνονται με τα πειραματικά δεδομένα μετριέται και χρησιμοποιείται το ενεργό μήκος του αντικειμένου. Το μήκος αυτό βρίσκεται αν ένα βαγόνι κινηθεί αργά μέσα από μια φωτοπύλη στη θέση GATE και μετρηθεί, με τη μετρητική ταινία της αεροτροχιάς, η απόσταση που διανύει από το σημείο όπου η LED ανάβει μέχρι το σημείο όπου σβήνει.
________________________________________
ΜΕΘΟΔΟΣ
Με τη χρήση της αεροτροχιάς στην άσκηση αυτή επιτυγχάνεται η ευθύγραμμη κίνηση ενός ή περισσοτέρων βαγονιών πάνω σε ένα στρώμα αέρα, με πολύ μικρή τριβή και έτσι μπορούν να μελετηθούν πολλές κινηματικές καταστάσεις και οι νόμοι που τις διέπουν.
Στο πρώτο πείραμα επαληθεύεται ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα με τη μελέτη της κίνησης ενός βαγονιού με μάζα m πάνω σε οριζοντιωμένη αεροτροχιά υπό την επίδραση μιας σταθερής δύναμης F.
Η εξωτερική δύναμη που ασκείται πάνω στο σύστημα είναι το βάρος της μάζας mα. Μέσω του νήματος, η δύναμη που ασκείται πάνω στη μάζα m είναι F. Για διάφορες τιμές της μάζας mα θα μετρηθεί η επιτάχυνση γ του βαγονιού και του συστήματος, όταν η ποσότητα m+mα διατηρείται σταθερή και θα συγκριθούν τα αποτελέσματα με την αναμενόμενη τιμή.
(1)
Η σχέση (1) βασίζεται στο δεύτερο νόμο του Νεύτωνα F=mγ για την κίνηση του βαγονιού.
Η επιτάχυνση γ του βαγονιού θα υπολογιστεί από τη μέση ταχύτητα u1 και u2 που έχει το βαγόνι σε δύο τυχόντα σημεία Α και Β της αεροτροχιάς, όπου βρίσκονται δύο φωτοπύλες, και από το χρόνο κίνησης t3 του βαγονιού μεταξύ των σημείων αυτών. Οι μέσες ταχύτητες u1 και u2 θα βρεθούν από τους χρόνους t1 και t2 που χρειάζεται το βαγόνι με ενεργό μήκος L για να περάσει μέσα από τις δύο φωτοπύλες αντίστοιχα.
Στο δεύτερο πείραμα επαληθεύεται η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας για ένα βαγόνι που κινείται σε κεκλιμένη αεροτροχιά. Το πείραμα αυτό δεν είναι εύκολο να πραγματοποιηθεί χωρίς την αεροτροχιά, αφού ένα σώμα που κατρακυλά ή ολισθαίνει από ένα ύψος υπόκειται, λόγω τριβής, σε απώλεια της μηχανικής του ενέργειας με αντίστοιχη μετατροπή σε θερμότητα.
Θα μετρηθεί η ταχύτητα του βαγονιού με μάζα m σε δύο σημεία της αεροτροχιάς που έχουν γνωστή διαφορά ύψους Δh και θα συγκριθεί η αύξηση της κινητικής του ενέργειας
(2)
με την αντίστοιχη ελάττωση της βαρυντικής δυναμικής ενέργειας
(3)
Επειδή οι τριβές είναι σημαντικά μειωμένες, περιμένουμε ότι θα επαληθεύεται ο νόμος
(4)
________________________________________
ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΟΥ 1ΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ
1. Θέσαμε σε λειτουργία τον φυσητήρα και επιλέξαμε μία ικανοποιητική παροχή αέρα.
2. Οριζοντιώσαμε την αεροτροχιά με τους κοχλίες του διπλού υποστηρίγματος. Προσέξαμε το βαγόνι να μην επιταχύνεται σταθερά προς μία κατεύθυνση και να μην κάθεται ασύμμετρα ως προς τις δύο πλευρές της αεροτροχιάς.
3. Τοποθετήσαμε τις δύο φωτοπύλες κάθετα στην αεροτροχιά. Συνδέσαμε τον ακροδέκτη πρόσδεσης του νήματος με ένα βαγόνι και το τοποθετήσαμε πάνω στην αεροτροχιά. Τεντώσαμε το νήμα και ρυθμίσαμε την απόσταση των δύο φωτοπυλών στα 60cm, έτσι ώστε το βαγόνι να βρίσκεται πριν την πρώτη φωτοπύλη όταν το άγκιστρο εξάρτησης μαζών κρέμεται πολύ κοντά στην τροχαλία και το άγκιστρο αυτό να μην έχει ακουμπήσει στο έδαφος πριν το βαγόνι περάσει ολόκληρο από τη δεύτερη φωτοπύλη.
4. Μετρήσαμε το ενεργό μήκος L του βαγονιού.
5. Προσθέσαμε 40gr πάνω στο βαγόνι. Στον πίνακα I καταχωρήσαμε τη συνολική μάζα m του βαγονιού λαμβάνοντας υπόψη ότι η μάζα του ακροδέκτη πρόσδεσης του νήματος είναι 2,5gr.
6. Τοποθετήσαμε στο άγκιστρο εξάρτησης βαρών μια μάζα 5gr και καταχωρήσαμε στον πίνακα I τη συνολική μάζα mα, που επιταχύνει τη διάταξη, λαμβάνοντας υπόψη ότι η μάζα του αγκίστρου είναι 2,0gr.
7. Επιλέξαμε ένα σταθερό σημείο εκκίνησης x0 κοντά στο άκρο της αεροτροχιάς όπου εισάγεται το ρεύμα αέρα.
8. Επιλέξαμε τον τρόπο λειτουργίας GATE για τις φωτοπύλες και τοποθετήσαμε το διακόπτη της μνήμης στη θέση ON για να μπορέσουμε να μετρήσουμε δύο χρονικά διαστήματα.
9. Πιέσαμε το κουμπί RESET της φωτοπύλης για να μηδενιστούν οι ενδείξεις χρόνου.
10. Κρατήσαμε το βαγόνι σταθερά στο x0 και μετά το ελευθερώσαμε. Σημειώσαμε τους χρόνους t1 και t1+t2 που χρειάστηκε το βαγόνι για να περάσει μέσα από την πρώτη και τη δεύτερη φωτοπύλη αντίστοιχα. Επαναλάβαμε τις μετρήσεις αυτές άλλες δύο φορές. Εν συνεχεία καταχωρήσαμε τις τιμές αυτές στον Πίνακα Ι
11. Επιλέξαμε τον τρόπο λειτουργίας PULSE για τις φωτοπύλες και μηδενίσαμε τις ενδείξεις.
12. Αρχίσαμε πάλι από το σημείο x0. Αυτή τη φορά μετρήσαμε το χρόνο t3 που χρειάζεται το βαγόνι για να μετακινηθεί από τη μία φωτοπύλη στην άλλη. Επαναλάβαμε τη μέτρηση άλλες δύο φορές. Εν συνεχεία καταχωρήσαμε τα αποτελέσματα των μετρήσεων στον Πίνακα Ι
13. Μεταβάλλαμε τη μάζα mα μετακινώντας μάζες από το βαγόνι στο άγκιστρο. Σημειώσαμε στον πίνακα Ι τις μάζες m και mα και επαναλάβετε τα βήματα 8-12. Τελικά χρησιμοποιήσαμε συνολικά πέντε διαφορετικές τιμές για τη mα.
mαγκ=2 gr mακροδ=2,5 gr mτροχ=9 gr
mβαγ=180,0 gr Lεν=12,6 cm x0=90 cm
δm=±0,1 gr δLεν=±0,1 cm δt=±1 ms
ΠΙΝΑΚΑΣ Ι
m
(gr) mα
(gr) t1
(sec) t1+t2
(sec) t3
(sec)
GATE READ PULSE
40 5 0,333 0,517 1,235
0,333 0,515 1,250
0,332 0,515 1,236
30 15 0,208 0,323 0,788
0,209 0,324 0,789
0,209 0,324 0,786
20 25 0,166 0,257 0,598
0,167 0,258 0,599
0,167 0,259 0,602
10 35 0,140 0,220 0,513
0,143 0,220 0,512
0,143 0,221 0,515
0 45 0,127 0,196 0,458
0,125 0,196 0,457
0,127 0,196 0,456
________________________________________
ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 1ΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ
Ο παραπάνω πίνακας αποτελεί τις σημειώσεις κατά τη διάρκεια του πειράματος. Για να μπορέσουμε να επεξεργαστούμε τις μετρήσεις πρέπει να τον μετατρέψουμε έτσι ώστε να έχουμε τις μέσες τιμές των χρόνων και το t2 μόνο του. 'Ετσι παίρνουμε τον παρακάτω πίνακα.
ΠΙΝΑΚΑΣ Μ.Τ.
(Μέσων Τιμών)
m
(gr) mα
(gr) t1
(sec) t2
(sec) t3
(sec)
222,5 7 0,333 0,183 1,240
212,5 17 0,209 0,115 0,788
202,5 27 0,167 0,091 0,600
192,5 37 0,142 0,078 0,513
182,5 47 0,126 0,070 0,457
Οι μέσες τιμές των χρόνων t1, t2 και t3 που αναγράφονται στον παραπάνω Πίνακα αναγράφονται χωρίς το σφάλμα το οποίο περιέχουν. Το τυπικό σφάλμα στον υπολογισμό μέσης τιμής δίνεται από τον τύπο:
(5)
όπου n ο αριθμός των μετρήσεων και η μέση τιμή του εκάστοτε μετρούμενου χρόνου.
Τα σφάλματα των χρόνων t1, t2 και t3 φαίνονται στον παρακάτω Πίνακα και έχουν υπολογιστεί με βάση τον τύπο (5).
ΠΙΝΑΚΑΣ Σ.Χ.1
(Σφαλμάτων Χρόνου)
m
(gr) mα
(gr) δt1
(sec) δt2
(sec) δt3
(sec)
222,5 7 0,0003 0,0006 0,0048
212,5 17 0,0003 0,0000 0,0009
202,5 27 0,0003 0,0003 0,0012
192,5 37 0,0010 0,0009 0,0009
182,5 47 0,0007 0,0007 0,0006
Τα σφάλματα των χρόνων τα οποία είναι μεγαλύτερα από το συστηματικό σφάλμα του οργάνου (φωτοπύλη), το οποίο είναι 1ms=0,001s, είναι δεκτά. Εκείνα τα σφάλματα τα οποία είναι μικρότερα του σφάλματος του οργάνου δεν είναι δεκτά και σε αυτήν την περίπτωση το σφάλμα της μέτρησης θεωρείται ίσο με το σφάλμα του οργάνου. Συνεπώς, ο παραπάνω πίνακας γίνεται:
ΠΙΝΑΚΑΣ Σ.Χ.2
(Σφαλμάτων Χρόνου)
m
(gr) mα
(gr) δt1
(sec) δt2
(sec) δt3
(sec)
222,5 7 0,001 0,001 0,005
212,5 17 0,001 0,001 0,001
202,5 27 0,001 0,001 0,002
192,5 37 0,001 0,001 0,001
182,5 47 0,001 0,001 0,001
1. Οι μέσες ταχύτητες v1 και v2 θα υπολογιστούν με βάση τους τύπους αντίστοιχα:
(6)
όπου t1 και t2 οι μέσες τιμές που υπολογίσαμε πρωτύτερα. 'Ετσι έχουμε:
ΠΙΝΑΚΑΣ Τ.
(Ταχυτήτων)
m
(gr) mα
(gr) t1
(sec) t2
(sec) v1
(m/s) v2
(m/s)
222,5 7 0,333 0,183 0,379 0,689
212,5 17 0,209 0,115 0,604 1,096
202,5 27 0,167 0,091 0,756 1,380
192,5 37 0,142 0,078 0,887 1,609
182,5 47 0,126 0,070 0,997 1,809
Για τον υπολογισμό των σφαλμάτων των μέσων ταχυτήτων, θα χρησιμοποιήσουμε τον κατάλληλο τύπο διάδοσης σφαλμάτων, αφού η ταχύτητα είναι παράγωγο μέγεθος δύο άλλων μεγεθών τα οποία περιέχουν σφάλμα. Συνεπώς, ο τύπος που θα χρησιμοποιήσουμε βασίζεται στη σχέση (6) και είναι ο
(7)
και παίρνουμε τον παρακάτω πίνακα
ΠΙΝΑΚΑΣ Σ.Τ.
(Σφαλμάτων Ταχυτήτων)
m
(gr) mα
(gr) t1
(sec) t2
(sec) δt1
(sec) δt2
(sec) δv1
(m/s) δv2
(m/s)
222,5 7 0,333 0,183 0,001 0,001 0,003 0,007
212,5 17 0,209 0,115 0,001 0,001 0,006 0,013
202,5 27 0,167 0,091 0,001 0,001 0,008 0,019
192,5 37 0,142 0,078 0,001 0,001 0,009 0,024
182,5 47 0,126 0,070 0,001 0,001 0,011 0,030
Ο υπολογισμός της επιτάχυνσης του βαγονιού μεταξύ των δύο φωτοπυλών θα γίνει μέσω του τύπου
(8)
και παίρνουμε τον παρακάτω πίνακα:
ΠΙΝΑΚΑΣ Ε
(Επιτάχυνσης)
m
(gr) mα
(gr) t1
(sec) t2
(sec) t3
(sec) v1
(m/s) v2
(m/s) γ
(m/s2)
222,5 7 0,333 0,183 1,240 0,379 0,689 0,423
212,5 17 0,209 0,115 0,788 0,604 1,096 1,053
202,5 27 0,167 0,091 0,600 0,756 1,380 1,770
192,5 37 0,142 0,078 0,513 0,887 1,609 2,367
182,5 47 0,126 0,070 0,457 0,997 1,809 2,992
Για τον υπολογισμό του σφάλματος στην τιμή της επιτάχυνσης πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της διάδοσης σφαλμάτων, ο οποίος βασίζεται στη σχέση (8) και είναι ο ακόλουθος
Ο υπολογισμός του σφάλματος αυτού, λόγω όγκου πράξεων, παραλείπεται.
Για τον υπολογισμό του βάρους της συνολικής αναρτημένης μάζας θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:
Bα=mαg (9)
όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας που θεωρείται και παίρνουμε τον παρακάτω πίνακα.
ΠΙΝΑΚΑΣ Β
(Βάρους)
m
(gr) mα
(gr) γ
(m/s2) Bα
(Nt)
222,5 7 0,423 0,069
212,5 17 1,053 0,167
202,5 27 1,770 0,265
192,5 37 2,367 0,363
182,5 47 2,992 0,461
2. Η γραφική παράσταση γ=f(Βα) είναι μία ευθεία της μορφής y=βx+α. Αρκεί συνεπώς να υπολογίσουμε τα β και α, ώστε να καθορίσουμε την ευθεία. Ο υπολογισμός αυτός θα γίνει χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.
Σύμφωνα με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, τα α και β της ευθείας είναι:
(10)
(11)
όπου n ο αριθμός των μετρήσεων και
Συγκεκριμένα έχουμε
x=Bα , y=γ , n=5
Συνεπώς είναι
'Αρα τελικά, σύμφωνα με τις σχέσεις (10) και (11) έχω
α=-0,021 β=6,584
Τα σφάλματα των δα και δβ των α και β υπολογίζονται από τους ακόλουθους τύπους:
(12)
(13)
πήρε πολύ καλό βαθμό
Menu
Community Sponsor
Prom Racing
OCEANOS NTUA
EUROAVIA NTUA
